Question

16、已知数列{a_n}中，S_n是其前n项和，若a₁=1，a₂=2，a_na_n+1a_n+2=a_n+a_n+1+a_n+2且a_n+1a_n+2≠1，则S₂₀₁₁=

4021

．

Answer 1

分析：先由递推关系式以及前两项一步步代入，求出数列的前几项可以得出数列{a_n}是周期为3的一个循环数列，即可求出S₂₀₁₁的值．

解答：解：因为a₁=1，a₂=2，a_na_n+1a_n+2=a_n+a_n+1+a_n+2且，
所以有a₁a₂a₃=a₁+a₂+a₃?a₃=3；
a₂•a₃•a₄=a₂+a₃+a₄?a₄=1；
a₃•a₄•a₅=a₃+a₄+a₅?a₅=2；
a₄•a₅•a₆=a₄+a₅+a₆?a₆=3；
…
故数列{a_n}是周期为3的一个循环数列．
所以S₂₀₁₁=a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₁
=670×（a₁+a₂+a₃）+a_3×670+1
=670×（1+2+3）+1
=4021．
故答案为：4021．

点评：本题主要考查数列的递推关系式的应用以及求数列的和，考查计算能力，属于基础题目．