Question

已知数列{a_n}的首项为2，点（a_n，a_n+1）在函数y=x+2的图象上
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{a_n}的前n项之和为S_n，求证

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

＜1．

Answer 1

分析：（1）点（a_n，a_n+1）代入直线方程可得a_n+1=a_n+2，则数列为等差数列，根据首项为2，公比为2写出通项公式即可；
（2）根据首项和公比写出等差数列的前n项和的公式s_n，并表示出

1

sn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，，利用拆项法把

1

n(n+1)

变为

1

n

-

1

n+1

，然后列举出各项，抵消可得证．

解答：解：（1）点（a_n，a_n+1）在函数y=x+2的图象上，∴a_n+1=a_n+2，
∴数列{a_n}是以首项为2公差为2的等差数列，
∴a_n=2+2（n-1）=2n；
（2）s_n=

(2n+2)n

2

=n（n+1），
则

1

sn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

＜1

点评：此题以一次函数为平台，考查等差数列的通项公式及前n项的和，是一道中档题．学生证明时应注意运用拆项法进行化简．