Question

【题目】已知命题p：x∈R，kx2+1≤0，命题q：x∈R，x2+2kx+1＞0．

（1）当k=3时，写出命题p的否定，并判断真假；

（2）当p∨q为假命题时，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）[1，+∞）.

【解析】试题分析：（1）当k=3时，命题p的否定￢p：x∈R，3x2+1＞0，利用二次函数的单调性或实数的性质即可判断出真假．

（2）当p∨q为假命题时，p与q都为假命题，可得￢p：x∈R，kx2+1＞0，是真命题，￢q：x∈R，x2+2kx+1≤0，是真命题．即可得出．

试题解析：命题p：x∈R，kx2+1≤0，命题q：x∈R，x2+2kx+1＞0．

（1）当k=3时，命题p的否定￢p：x∈R，3x2+1＞0，是真命题．

（2）当p∨q为假命题时，p与q都为假命题，

∴￢p：x∈R，kx2+1＞0，是真命题，￢q：x∈R，x2+2kx+1≤0，是真命题．

∴，或k=0，1＞0；且△=4k2-4≥0，

解得k≥1．

∴实数k的取值范围是[1，+∞）．