Question

【题目】已知，，其中，为自然对数的底数．

若函数的切线l经过点，求l的方程；

Ⅱ若函数在为递减函数，试判断函数零点的个数，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】Ⅰ；Ⅱ见解析

【解析】

Ⅰ设出切点坐标，求出切线斜率，求出切线方程即可；

Ⅱ问题等价于，记，，分别求出的最小值和的最大值，从而证明结论．

解：Ⅰ设l和的切点是，

在该点处的导数，它是切线l的斜率，

经过，也过切点，

的斜率又可写为，

故，故，解得：，

故直线l的斜率为，

故l的方程是：；

Ⅱ判断：函数的零点个数是0，

下面证明恒成立，

，故，

若在递减，则，

因此，要证明对恒成立，

只需证明对恒成立，

考虑等价于，

记，，

先看，，

令，解得：，

令，解得：，

故在递减，在递增，

，

再看，.

令，解得：，

令，解得：，

故在递增，在递减，

.

，且两个函数的极值点不在同一个x处，

故对恒成立，

综上，对恒成立，

故函数函数零点是0个．