题目内容

已知函数g（x）=kx+b（k≠0），当x∈[-1，1]时，g（x）的最大值比最小值大2，又f（x）=2x+3．是否存在常数k，b使得f[g（x）]=g[f（x）]对任意的x恒成立，如果存在，求出k，b．如果不存在，说明为什么？
分析：先看k＞0时可分别表示出g（x）的最大和最小值，根据题意求得k；再看k＜0时表示出函数的最大和最小值，求得k，进而假设存在k，b使得f[g（x）]=g[f（x）]对任意的x恒成立，求得k=1时函数f[g（x）]的表达式，根据f[g（x）]=g[f（x）]求得b．同理求得k=-1时b的值，得出结论．
解答：解：①当k＞0时：g（x）在区间[-1，1]上，
g（x）max=g（1）=k+b；
g（x）min=g（-1）=-k+b
∴k+b-（-k+b）=2即：k=1
②当k＜0时：g（x）在区间[-1，1]上，
g（x）max=g（-1）=-k+b；
g（x）min=g（1）=k+b
∴-k+b-（k+b）=2即：k=-1
假设存在k，b使得f[g（x）]=g[f（x）]对任意的x恒成立；
当k=1时，f[g（x）]
=f（x+b）=2（x+b）+3
=2x+2b+3=g[f（x）]
=g（2x+3）
=2x+3+b
∴2x+2b+3=2x+b+3即：b=0
同理：当k=-1时，b=-6
∴存在
k=1
b=0
或
k=-1
b=-6
时，使得f[g（x）]=g[f（x）]对任意的x恒成立
点评：本题主要考查了函数最值的应用以及函数恒成立的问题．考查了学生的推理分析问题的能力．
练习册系列答案
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已知函数g（x）=ax2-2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设f（x）=
g(x)
x
．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）不等式f（2x）-k•2x≥0在x∈[-1，1]上恒成立，求实数k的范围；
（Ⅲ）方程f(|2x-1|)+k(
2
|2x-1|
-3)=0有三个不同的实数解，求实数k的范围．
已知函数f（x）=x2+bsinx-2，（b∈R），F（x）=f（x）+2，且对于任意实数x，恒有F（x-5）=F（5-x）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）已知函数g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上单调，求实数a的取值范围；
（3）函数h(x)=ln(1+x2)-
12
f(x)-k有几个零点？
已知函数f（x）=x2+bsinx-2（b∈R），F（x）=f（a）+2且对于任意实数x，恒有F（x）-F（-x）=0
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）已知函数g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上单调递减，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若关于x的方程
12
f(x)=4lnx-k在[1，e]上恰有两个相异实根，求实数k的取值范围．
已知函数g（x）=ax2-2ax+1+b（a＞0），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设f(x)=
g(x)
x
．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若不等式f（x）-kx≥0在x∈（0，+∞）时恒成立，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）方程f(|2x-1|)+k(
2
|2x-1|
-3)=0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．
（2012•海口模拟）已知函数f（x）=x2+bsinx-2（b∈R），F（x）=f（x）+2，且对于任意实数x，恒有F（x）-F（-x）=0．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）已知函数g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上单调递减，求实数a的取值范围；
（3）函数h（x）=ln（1+x2）-
12
f（x）-k，（k∈R），试判断函数h（x）的零点个数？

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