Question

如图，在中，B=,AC=,D、E两点分别在AB、AC上.使,DE=3.现将沿DE折成直二面角，求：

（Ⅰ）异面直线AD与BC的距离；

（Ⅱ）二面角A-EC-B的大小（用反三角函数表示）.            

Answer 1

解法一：

　　（Ⅰ）在图1中，因，故DE∥BC.又因B＝90°，从而AD⊥DE.

在图2中，因A-DE-B是直二面角，AD⊥DE,故AD⊥底面DBCE，从

而AD⊥DB.而DB⊥BC,

故DB为异面直线AD与BC的公垂线.下求DB之长.

在图1中，由，得

又已知DE=3,从而

因

（Ⅱ）在图2中，过D作DF⊥CE,交CE的延长线于F，连接AF.由（1）知，

AD⊥底面DBCE,由三垂线定理知AF⊥FC,故∠AFD为二面角A-EC-B的平面角.在底面DBCE中，∠DEF=∠BCE,,

因此

从而在Rt△DFE中，DE=3,

在

因此所求二面角A-EC-B的大小为arctan  

解法二：

（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）如图3.由（Ⅰ）知，以D点为坐标原点，的方向为x、

y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，

 

则D（0，0，0），A（0，0，4），，E（0，3，0）.

过D作DF⊥CE,交CE的延长线于F，连接AF.设

从而，

有     ①

    又由        ②

    联立①、②，解得

    因为,

故,又因,所以为所求的二面角A-EC-B的平面角.

因有

所以

   因此所求二面角A-EC-B的大小为