Question

已知F₁、F₂是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，点B与点A关于原点对称，AF₂-F₁F₂=0，若椭圆的离心率等于

2

2

（Ⅰ）求直线AB的方程；
（Ⅱ）若△ABF₂的面积等于4

2

，求椭圆的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，椭圆上是否存在点M使得△MA的面积等于8

3

？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可知AF₂⊥F₁F₂，根据椭圆离心率可设椭圆方程可以写成x²+2y²=a²，再将A（c，y_A），代入方程得y_A=

1

2

a，求出A的坐标，从而得出直线AB的斜率进而得到直线AB的方程；
（Ⅱ）连接AF₁、BF₁，由椭圆的对称性可知S_△AEF1=S_△ABF1=S_△AF1F2，据此求出a，b的值，从而得到椭圆方程；
（Ⅲ）对于存在性问题，可先假设存在，即假设在椭圆上存在点M使得△MAB的面积等于8

3

，再利用点到直线AB的距离公式，求出点M到直线AB的距离d，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

解答：解：（Ⅰ）由

.

AF2

-

.

F1F2

=0知AF₂⊥F₁F₂
∵椭圆离心率等于

2

2

，所以c=

2

2

a，b²=

1

2

a²，故椭圆方程可以写成x²+2y²=a²，
设A（c，y_A），代入方程得y_A=

1

2

a，所以A（

2

2

a，

1

2

a），
故直线AB的斜率k=

2

2

，因此直线AB的方程为y=

2

2

x（4分）
（Ⅱ）连接AF₁、BF₁，由椭圆的对称性可知S_△AEF1=S_△ABF1=S_△AF1F2，
所以

1

2

-2c-

1

2

a=4

2

，解得a2=16，b2=8故椭圆方程为

x2

16

+

y2

8

=1（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可以求得|AB|=2|OA|=2

(2 2 )2+22

=4

3

假设在椭圆上存在点M使得△MAB的面积等于8

3

，设点M到直线AB的距离为d，则应有

1

2

-4

3

•d=8

3

，所以d=4
设M所在直线方程为

2

x-2y±4

6

=0与椭圆方程联立消去x得方程4y²±8

6

y+32=0
即y²±2

6

y+8=0，∵△=（±2

6

）²-4×8＜0故在椭圆上不存在点M使得△MAB的面积等于8

3

（14分）

点评：本小题主要直线与圆锥曲线的综合问题、椭圆方程等基础知识，当直线与圆锥曲线相交时，涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公式）．