Question

已知矩阵A=

1 a -1 b

，A的一个特征值λ=2，其对应的特征向量是α1=

2 1

．
（1）求矩阵A；
（2）若向量β=

7 4

，计算A⁵β的值．

Answer 1

分析：（1）由题意知：A

α

=λ

α

（

α

为特征向量，λ为特征值），利用矩阵的乘法法则化简求出a与b的值，代入矩阵A即可；
（2）根据矩阵A的特征多项式求出矩阵A的所有特征值为2和3，得到A=2

2 1

=3

1 1

①，然后根据特征向量线性表示出向量β，利用矩阵的乘法法则求出β=3α₁+α₂②，将①和②代入A⁵β中求出值即可．

解答：解：（1）由题知：

1 a -1 b

2 1

=2

2 1

，即2+a=4，-2+b=2，解得a=2，b=4，
所以A=

1 2 -1 4

；
（2）矩阵A的特征多项式为f(λ)=

.

λ-1 1

-2 λ-4

.

=λ²-5λ+6=0，
得λ₁=2，λ₂=3，
当λ1=2时，α1=

2 1

，当λ₂=3时，得α2=

1 1

． 则A=2

2 1

=3

1 1

由β=mα₁+nα₂=m

2 1

+n

1 1

=

7 4

得：

2m+n=7 m+n=4

解得

m=3 n=1

，则β=3α₁+α₂
∴A⁵β=A⁵（3α₁+α₂）=3（A⁵α₁）+A⁵α₂=3(

λ

5 1

α1)+

λ

5 2

α2=3×25

2 1

+35

1 1

=

435 339

．

点评：考查学生会利用二阶矩阵的乘法法则进行运算，会求矩阵的特征值和特征向量．