Question

函数f（x）=

(1-a2)x2+3(1-a)x+6

．若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：把函数的定义域为R转化为不等式恒成立问题，然后对二次项系数为0和不为0加以讨论，当二次项系数不等于0时，利用二次函数对应的图象开口向上且与x轴至多有一个切点列不等式组求解．

解答：解：∵函数f（x）=

(1-a2)x2+3(1-a)x+6

的定义域为R，
∴对任意x∈R，（1-a²）x²+3（1-a）x+6≥0恒成立．
①当1-a²=0，即a=±1时，
若a=1，f（x）=

6

，定义域为R，符合题意；
若a=-1，f（x）=

6x+6

，定义域为[-1，+∞），不合题意．
②当1-a²≠0时，则g（x）=（1-a²）x²+3（1-a）x+6为二次函数．
由

1-a2＞0 △=9(1-a)2-24(1-a2)≤0

，
得

-1＜a＜1 (a-1)(11a+5)≤0

，
解得：-

5

11

≤a＜1．
由①②可得：-

5

11

≤a≤1．

点评：本题考查了函数定义域及其求法，考查了数学转化思想方法及分类讨论的数学思想方法，训练了利用“三个二次”结合求参数的范围，是中档题．