Question

如图，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB交SB于E，过E作EF⊥SC交SC于F．

(1)求证：AF⊥SC；

(2)若平面AEF交SD于G，求证：AG⊥SD．

Answer 1

答案：略
解析：

证明：(1)∵SA⊥平面AC，BC平面AC， ∴SA⊥BC．∵ABCD为矩形，∴AB⊥BC． ∴BC⊥平面SAB． ∴BC⊥AE．又SB⊥AE． ∴AE⊥平面SBC． ∴AE⊥SC．又EF⊥SC，∴SC⊥平面AEF． ∴AE⊥SC． (2)∵SA⊥平面AC，∴SA⊥DC． 又AD⊥DC，∴DC⊥平面SAD． ∴DC⊥AG． 又由(1)有SC⊥平面AEF，AG面AEF， ∴SC⊥AG．∴AG⊥平面SDC．∴AG⊥SD．

提示：

本题是证线线垂直问题，可通过证线面垂直来实现．欲证AF⊥SC，只需证SC垂直于AF所在的平面，即SC⊥平面AEF，由已知，欲证SC⊥平面AEF，只需证AE垂直于SC所在平面，即AE⊥平面SBC，再由已知只需证AE⊥BC，而要证AE⊥BC，只需证BC⊥平面SAB，而这可由已知得证．