Question

四棱锥中，底面为平行四边形，侧面面，已知
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）在SB上选取点P，使SD//平面PAC ，并证明；
（Ⅲ）求直线与面所成角的正弦值。

Answer 1

（1）（2）详见试题解析; 

解析试题分析：（Ⅰ）要证线线垂直只要证明线面垂直,利用题中数据求出底面平行四边形的各边的长度,找到 及 是等腰三角形，利用等腰三角形中线是高结论找到“线线垂直”关系（Ⅱ）要找线面平行先找线线平行,要找线线平行先找面面交线，即平面 与平面交线 ， 注意到为中点的特点，即可导致∥，从而推出线面平行 （Ⅲ）建立空间直角坐标系，确定关键点的坐标，再运用空间向量进行运算.

试题解析：（Ⅰ）证明：连接AC， ，
由余弦定理得，  2分
取中点，连接，则.
 
面       4分
（Ⅱ）当为的中点时，面
证明：连接 ，在中，∥  ，又 平面 ，
平面面， 平面.  7分
（3）如图，以射线OA为X轴，以射线OB为轴，以射线OS为轴，以为原点，建立空间直角坐标系,则．
      
，9分
设平面法向量为
有令 ，则，

   11分   
所以直线与面所成角的正弦值为12分
考点：线面平行与垂直,线面角，空间向量的应用