Question

已知命题p：方程a²x²+ax-2=0在[-1，1]上有解，命题q：函数f（x）=x²+2ax+2a的值域为[0，+∞），若命题“p或q”是假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：分别求出命题p，q成立的等价条件，利用“p或q”是假命题，求实数a的取值范围．

解答：解：当a=0时，方程等价为-2=0，不成立．
若a≠0，由a²x²+ax-2=0，得（ax+2）（ax-1）=0，即方程的根为x=-

2

a

或x=

1

a

．
∵方程a²x²+ax-2=0在[-1，1]上有解，
∴|-

2

a

|≤1或|

1

a

|≤1，解得|a|≥2或|a|≥1，
即|a|≥1，解得a≥1或a≤-1，
即p：a≥1或a≤-1．
若函数f（x）=x²+2ax+2a的值域为[0，+∞），则判别式△=（2a）²-8a=0，
解得a=0或a=2，即q：a=0或a=2，
∴p或q为：a≥1或a≤-1或a=0，
∵“p或q”为假命题时，
∴-1＜a＜1且a≠0，即a∈（-1，0）∪（0，1）．

点评：本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用条件先求出p，q成立的等价条件是解决此类问题的关键．