题目内容
如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点.
(1)求证：MN∥平面PAD；(2)求证：MN⊥CD.
(3)若∠PDA=45°,求证：MN⊥平面PCD.
答案：
解析：
解析：
|
【探究】 (1)要证明MN∥平面PAD，须证MN平行于平面PAD内某一条直线.注意到M，N分别为AB，PC的中点，可取PD的中点E，从而只须证明MN∥AE即可，证明如下：
证明：取PD的中点E， 连结AE、EN. 则EN 故AMNE为平行四边形，∴MN∥AE. ∵AE (2)要证MN⊥CD，可证MN⊥AB. 由问(1)知，需证AE⊥AB. ∵PA⊥平面ABCD.∴PA⊥AB，又AD⊥AB， ∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥AE，即AB⊥MN. 又CD∥AB，∴MN⊥CD. (3)由问(2)知，MN⊥CD，即AE⊥CD，再证AE⊥PD即可. ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD. 又∠PDA=45°,E为PD的中点. ∴AE⊥PD,即MN⊥PD. 又MN⊥CD.∴MN⊥平面PCD. 【规律总结】 本题是涉及线面垂直、线面平行、线线垂直诸知识点的一道综合题.题(1)的关键是选取PD的中点E，所作的辅助线使问题处理方向明朗化.线线垂直←线面垂直←线线垂直是转化规律. |
CD
平面PAD，MN
平面PAD，∴MN∥平面PAD.
练习册系列答案
相关题目
22、如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2=EF•EC．
如图所示，已知PA切圆O于A，割线PBC交圆O于B、C，PD⊥AB于D，PD与AO的延长线相交于点E，连接CE并延长交圆O于点F，连接AF．
如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2=EF•EC．
如图所示，已知PA⊥平面ABCD，PA=AB=AD=2，AC与BD交于E点，BD=2，BC=CD=
（2013•甘肃三模）选修4-1：几何证明选讲