Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知椭圆短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，两准线之间的距离为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）直线与椭圆交于，两点，设直线，的斜率分别为，.已知.

①求的值；

②当的面积最大时，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②.

【解析】

（1）设椭圆的焦距为，则.利用短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，求出，，然后求解椭圆的标准方程.

（2）①设，，，，联立利用韦达定理，通过直线的斜率求解即可；②由①得，直线的方程为，然后求解弦长，点到直线的距离，求解三角形的面积，然后求解即可.

解：（1）设椭圆的焦距为，则.

因为短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，

所以.

又两准线间的距离为，则，

所以，，

所以椭圆的标准方程为.

（2）①设，，，，

联立消去得，

，化简得，

所以，，

又的斜率，的斜率，

所以，

化简得，

所以.又因为，即，

又，所以.

②由①得，直线的方程为，

且，，.

又，所以.

所以

，

点到直线的距离，

所以，

当且仅当，即时，的面积最大，

所以，直线的方程为.