Question

已知0≤x≤1，f（x）=，f（x）的最小值为m．
（1）用a表示m；
（2）求m的最大值及此时a的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）通过对a分类讨论，利用导数即可求出；
（2）由表达式利用导数即可求出其最大值．
解答：解：（1）∵，
①当a＞2时，，f^′（x）＜0，∴f（x）在[0，1]上单调递减，在x=1处取得最小值f（1）=1-a+=．
②当0＜a＜2时，，令f^′（x）=0，解得x=，列表如下：
由表格可知：f（x）在x=处取得极小值，也是最小值．
③当a=2时，在x∈[0，1]上，f^′（x）=2（x-1）≤0，∴函数f（x）单调递减，在x=1处取得最小值0．
综上可知：m=．

（2）①当0＜a≤2时，m^′（a）==，当0＜a＜1时，m^′（a）＞0，函数m（a）单调递增；当1＜a≤2时，m^′（a）＜0，函数m（a）单调递减．
可知当a=1时，m（a）取得极大值，也是最大值；
②当a＞2时，m（a）=在（2，+∞）上单调递减，m（a）＜m（2）=0．
综上可知：只有当a=1时，m（a）取得最大值．
点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性是解题的关键．