Question

已知函数f（x）=x²+ax+b²
（1）若-2≤a≤4，-2≤b≤4（a，b∈Z），求等式f（x）＞0的解集为R的概率；
（2）若|a|≤1，|b|≤1，求等式f（x）＞0的解集为R的概率．

Answer 1

分析：（1）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从两个集合中各取一个数字，共有49种结果，满足条件的事件是不等式f（x）＞0的解集为R，即a²≥4b²，列举出所有的事件数，根据等可能事件的概率得到结果．
（2）由已知|a|≤1，|b|≤1，我们可以求出（a，b）对应的平面区域的面积，若不等式f（x）＞0的解集为R，即a²-4b²＜0，即|a|＜|2b|，我们也可以求出满足条件的平面区域的面积，代入几何概型概率公式，即可求出答案．

解答：解：（1）满足条件的不等式共有49个
不等式解集为R的条件是a²-4b²＜0
a=-2时b=-2，2，3，4
a=-1时b=-2，-1，1，2，3，4
a=0时b=-2，-1，1，2，3，4
a=1时b=-2，-1，1，2，3，4
a=2时b=-2，2，3，4
a=3时b=-2，2，3，4
a=4时b=3，4
所以满足等式f（x）＞0的解集为R的不等式有32个
故等式f（x）＞0的解集为R的概率是

32

49

；
（2）点（a，b）满足的区域是一个边长为2的正方形，
面积为4，不等式f（x）＞0解集为R的条件是△=a²-4b²＜0

即

a+2b＞0 a-2b＜0

或

a+2b＜0 a-2b＞0

∴当f（x）＞0解集为R时，点（a，b）的区域如图（阴影部分），
其面积为4-2×

1

2

×|x|=3
∴不等式f（x）＞0解集为R的概率P=

3

4

点评：本题考查等可能事件的概率，考查一元二次方程的解，考查列举法的应用，是一个综合题目，本题解题的关键是弄清楚一元二次方程解的情况．几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、含面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=N（A）/N求解，属中档题．