Question

求下列各圆的标准方程：
（1）圆心在y=-x上且过两点（2，0），（0，-4）；
（2）圆心在直线2x+y=0上，且与直线x+y-1=0切于点（2，-1）；
（3）圆心在直线5x-3y=8上，且与坐标轴相切。

Answer 1

解：（1）设圆心坐标为（a，b），
则所求圆的方程为，
∵圆心在y=-x上，
∴b=-a，                                                               ①
又∵圆过（2，0），（0，-4），
∴ ，                               ② 
   ，                              ③
由①②③联立方程组，可得，
∴所求圆的方程为。
（2） ∵圆与直线x+y-1=0相切，并切于点M（2，-1），
则圆心必在过点M（2，-1）且垂直于x+y-1=0的直线：y=x-3上，
由，
即圆心为C（1，-2），
∴r=，
∴所求圆的方程为：。
（3）设所求圆的方程为，
∵圆与坐标轴相切，
∴，
又∵圆心(a，b)在直线5x-3y=8上，
∴5a-3b=8，
由，得或，
∴所求圆的方程为：或。