Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，对任意的x都有f（x+2）=f（x）成立，且当x∈（0，1）时f(x)=

2x

4x+1

．
（1）判断f（x）在（0，1）上的单调性，并加以证明；
（2）求f（x）在[-1，1]上的解析式；
（3）当关于x的方程f（x）-1=2λ在[-1，1]上有实数解时，求实数λ的取值范围，

Answer 1

（1）f（x）在（0，1）上是减函数，证明如下
当x∈（0，1）时，f（x）=

2x

4x+1

．
设0＜x₁＜x₂＜1，
则f（x₁）-f（x₂）=

2x 1

4x1+1

-

2x2

4x2+1

=

(2x2-2x1)(2x1+x2-1)

( 4x1+1)(4x2+1)

∵0＜x₁＜x₂＜1，∴2x2-2x1＞0，2 x1+x2-1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
故f（x）在（0，1）上单调递减
（2）当x∈（-1，0）时，-x∈（0，1）．
∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x）=-

2x

4x+1

由f（0）=f（-0）=-f（0），且f（1）=-f（-1）=-f（-1+2）=-f（1），
得f（0）=f（1）=f（-1）=0．∴在区间[-1，1]上，有f（x）=

2x 4x+1      x∈(0，1) - 2 x 4 x+1     x∈(-1，0) 0                 x∈{-1，0，1}

（3）f（x）-1=2λ在[-1，1]上有实数解，转化为λ=

1

2

f（x）-

1

2

由函数的单调性求出函数在[-1，1]的值域
即得，f（x）的值域为(-

1

2

，-

2

5

)∪(

2

5

，

1

2

)∪{0}λ∈(-

3

4

，-

7

10

)∪(-

3

10

，-

1

4

)∪{-

1

2

}