Question

定义域为[a，b]的函数y=f（x）图象的两个端点为A，B，向量

ON

=λ 

OA

+(1-λ) 

OB

，M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=λ

a

+（1-λ）

b

，λ∈[0，1]．若不等式|MN|≤k恒成立，则称函数f（x）在[a，b]上满足“k范围线性近似”，其中最小的正实数k称为该函数的线性近似阀值．下列定义在[1，2]上函数中，线性近似阀值最小的是（　　）

A．y=x2

B．y= 2 x

C．y=sin π 3 x

D．y=x- 1 x

Answer 1

由题意，M、N横坐标相等，不等式|MN|≤k对λ∈[0，1]恒成立，最小的正实数k应为|MN|的最大值．
①对于函数y=x²，由A、B是其图象上横坐标分别为a、b的两点，则A（1，1），（2，4）∴AB方程为y-1=

4-1

2-1

（x-1），即y=3x-2
|MN|=|x²-（3x-2）|=|（x-

3

2

）²-

1

4

|≤

1

4

，线性近似阀值为

1

4

．
②同样对于函数y=

2

x

，由A（1，2），（2，1），AB方程为y=-x+3，|MN|═-x+3-

2

x

=3-（x+

2

x

）≤3-2

2

，线性近似阀值为3-2

2

．
③同样对于函数y=sin

π

3

x，A（1，

3

2

），B（2，

3

2

），AB方程为y=

3

2

，由三角函数图象与性质可知|MN|≤1-

3

2

，线性近似阀值为1-

3

2

，
④同样对于函数y=x-

1

x

，得A（1，0），B（2，

3

2

），
∴直线AB方程为y=

3

2

（x-1）
∴|MN|=|=x-

1

x

-

3

2

（x-1）=

3

2

-（

x

2

+

1

x

）≤

3

2

-

2

，线性近似阀值为

3

2

-

2

．
由于为

1

4

＞3-2

2

＞1-

3

2

＞

3

2

-

2

．所以线性近似阀值最小的是y=x-

1

x

故选D