Question

（本小题满分12分）已知A（-2，0），B（2，0）为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，△APB面积的最大值为2．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若直线AP的倾斜角为，且与椭圆在点B处的切线交于点D，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．

Answer 1

（1）；（2）相切；见解析．

【解析】

试题分析：（1）由题意可设椭圆的方程为，．

由题意知解得． 2分

故椭圆的方程为． 4分

（2）以为直径的圆与直线相切．

证明如下：由题意可知，，，直线的方程为．

则点坐标为，中点的坐标为，圆的半径 6分

由得．

设点P的坐标为 ，则 ．8分

因为点F坐标为（1,0），直线PF的斜率为 ，直线PF的方程为4x-3y-4=0，

点E到直线PF的距离为 ．10分

所以d=r，故以BD为直径的圆与PF相切

考点：本题考查椭圆的标准方程，椭圆的几何性质，直线与圆的位置关系