Question

已知函数f（x）=x²-4x+a+3，a∈R．
（Ⅰ）若函数y=f（x）的图象与x轴无交点，求a的取值范围；
（Ⅱ）若函数y=f（x）在[-1，1]上存在零点，求a的取值范围；
（Ⅲ）设函数g（x）=bx+5-2b，b∈R．当a=0时，若对任意的x₁∈[1，4]，总存在x₂∈[1，4]，使得f（x₁）=g（x₂），求b的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意，可以将问题转化为二次函数对应的方程无实数根，利用△＜0列出不等关系式，求解即可得到a的取值范围；
（Ⅱ）根据二次函数的对称轴为x=2，可以判断出二次函数在去甲[-1，1]上的单调性，再根据零点的存在性定理列出不等式组，求解即可得到a的取值范围；
（Ⅲ）根据题意，将问题转化为函数y=f（x）的值域为函数y=g（x）值域的子集，根据二次函数的性质，即可求得f（x）的值域，对于g（x），对其一次项系数进行分类讨论，分别得到g（x）的值域，分别求解，即可得到b的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵函数y=f（x）的图象与x轴无交点，
∴方程f（x）=0的判别式△＜0，
∴16-4（a+3）＜0，解得a＞1，
∴a的取值范围为（1，+∞）；
（Ⅱ）∵f（x）=x²-4x+a+3的对称轴是x=2，
∴y=f（x）在[-1，1]上是减函数，
∵y=f（x）在[-1，1]上存在零点，
∴必有：

f(1)≤0 f(-1)≥0

，即

a≤0 a+8≥0

，
解得：-8≤a≤0，
故实数a的取值范围为-8≤a≤0；               
（Ⅲ）若对任意的x₁∈[1，4]，总存在x₂∈[1，4]，使f（x₁）=g（x₂），
只需函数y=f（x）的值域为函数y=g（x）值域的子集．
当a=0时，f（x）=x²-4x+3的对称轴是x=2，∴y=f（x）的值域为[-1，3]，
下面求g（x）=bx+5-2b，x∈[1，4]的值域，
①当b=0时，g（x）=5，不合题意，舍
②当b＞0时，g（x）=bx+5-2b的值域为[5-b，5+2b]，只需要

5-b≤-1 5+2b≥3

，解得b≥6
③当b＜0时，g（x）=bx+5-2b的值域为[5+2b，5-b]，只需要

5+2b≤-1 5-b≥3

，解得b≤-3
综上：实数b的取值范围b≥6或b≤-3．

点评：本题考查了函数的零点与方程根的关系，函数的零点等价于对应方程的根，等价于函数的图象与x轴交点的横坐标，解题时要注意根据题意合理的选择转化．考查了二次函数的性质以及二次函数的零点与最值问题，对于二次函数要注意数形结合的应用，注意抓住二次函数的开口方向，对称轴，以及判别式的考虑．本题运用了分类讨论的数学思想方法．属于中档题．