Question

（本小题满分12分）求证：3²ⁿ⁺²-8n–9（n∈N*）能被64整除．

 

Answer 1

【答案】

方法1：二项式定理

证明：3²ⁿ⁺²-8n–9=9ⁿ⁺¹-8n–9=（8+1）ⁿ⁺¹-8n–9                     ………………………………4分

=8ⁿ⁺¹＋·8ⁿ＋…＋·8²＋·8＋-8n-9

=8²（8^n-1+8^n-2+…+）+8（n+1）+1-8n-9…………………8分

=64（8^n-1+8^n-2+…+）             …………………………………10分

∵8^n-1+8^n-2+…+∈Z，

∴3²ⁿ⁺²-8ⁿ–9能被64整除．                                           …………………………………12分

方法2：数学归纳法

（1） 当n=1时，式子3²ⁿ⁺²-8n–9=3⁴-8-9=64能被64整除，命题成立．………………2分

（2） 假设当n=k时，3^2k+2-8k-9能够被64整除．       ………………………………4分

当n=k+1时，

3^2k+4-8（k＋1） -9

=9[3^2k+2-8k-9]＋64k＋64

＝9[3^2k+2-8k-9]＋64（k＋1）                                       …………………………………8分

因为3^2k+2-8k-9能够被64整除，

∴9[3^2k+2-8k-9]＋64（k＋1）能够被64整除．                     …………………………………10分

即当n=k+1时，命题也成立．

由（1） （2） 可知，3²ⁿ⁺²-8n–9（n∈N*）能被64整除．……………………………12分

【解析】略