题目内容

某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查．瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力．某班学生共有40人，下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果．例如表中听觉记忆能力为中等，且视觉记忆能力偏高的学生为3人．
听觉
视觉		 视觉记忆能力
偏低 中等 偏高 超常
听觉
记忆
能力		 偏低 0 7 5 1
中等 1 8 3 b
偏高 2 a 0 1
超常 0 2 1 1
由于部分数据丢失，只知道从这40位学生中随机抽取一个，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为
2
5
．
（1）试确定a、b的值；
（2）从40人中任意抽取3人，求其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率；
（3）从40人中任意抽取3人，设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为ξ，求随机变量ξ的数学期望Eξ．
分析：（1）由表格数据可知，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有（10+a）人．记“视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事件A，事件A的概率即为
2
5
，由此建立方程即可求出a，b．
（2）从40人中任意抽取3人，求其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率，方法一：可分为三类求其概率，分别为有一，二、三位能力超常的人；求出三类中所胡可能的情况；方法二：转化为求其对立事件的概率，易求．
（3）从40人中任意抽取3人，设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为ξ，ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出其概率列出分布列，利用公式求出期望即可．
解答：解：（1）由表格数据可知，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有（10+a）人．记“视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事件A，
则P(A)=
10+a
40
=
2
5
，解得a=6．
所以b=40-（32+a）=40-38=2．
答：a的值为6，b的值为2．
（2）由表格数据可知，具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生共有8人．
方法1：记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件B，
则“没有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件
.
B
，
所以P(B)=1-P(
.
B
)=1-
C
3
32
C
3
40
=1-
124
247
=
123
247
．
答：从这40人中任意抽取3人，其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率为
123
247
．
方法2：记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件B，
所以P(B)=
C
1
8
C
2
32
+
C
2
8
C
1
32
+
C
3
8
C
3
40
=
123
247
．
答：从这40人中任意抽取3人，其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率为
123
247
．
（3）由于从40位学生中任意抽取3位的结果数为C403，其中具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生共24人，从40位学生中任意抽取3位，其中恰有k位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的结果数为C24kC163-k，
所以从40位学生中任意抽取3位，其中恰有k位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的概率为P(ξ=k)=
C
k
24
C
3-k
16
C
3
40
，（k=0，1，2，3）（8分）ξ的可能取值为0，1，2，3，
因为P(ξ=0)=
C
0
24
C
3
16
C
3
40
=
14
247
，P(ξ=1)=
C
1
24
C
2
16
C
3
40
=
72
247
，P(ξ=2)=
C
2
24
C
1
16
C
3
40
=
552
1235
，P(ξ=3)=
C
3
24
C
0
16
C
3
40
=
253
1235
，
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
14
247
72
247
552
1235
253
1235
所以Eξ=0×
14
247
+1×
72
247
+2×
552
1235
+3×
253
1235
=
2223
1235
=
9
5
．
答：随机变量ξ的数学期望为
9
5
点评：本题考查离散型随机变量的期望与方差，求解问题的关键是正确理解题意以及熟练掌握求概率的方法，本题二中提供了两种方法求概率，对比发现求对立事件的概率较易．求概率时灵活选择求概率的角度可以简化运算，本题运算量较大，易马虎导致错误，以至于解题失败，做题时要严谨、认真，算好每一步．避免一步错步步错．
练习册系列答案
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某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查．瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力．某班学生共有40人，下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果．例如表中听觉记忆能力为中等，且视觉记忆能力偏高的学生为3人．
听觉
视觉         		 视觉记忆能力
偏低 中等 偏高 超常
听觉
记忆
能力		 偏低 0 7 5 1
中等 1 8 3 b
偏高 2 a 0 1
超常 0 2 1 1
由于部分数据丢失，只知道从这40位学生中随机抽取一个，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为
2
5
．
（1）试确定a、b的值；
（2）从40人中任意抽取1人，求此人听觉记忆能力恰为中等，且视觉记忆能力为中等或中等以上的概率．
某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查．瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力．某班学甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格．
（Ⅰ）求甲、乙两人考试均合格的概率；
（Ⅱ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望．

．（本小题满分12分）
某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查．瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力.某班学生共有40人，下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果．例如表中听觉记忆能力为中等，且视觉记忆能力偏高的学生为3人．

    视觉        
视觉记忆能力
偏低
中等
偏高
超常
听觉
记忆
能力
偏低
0
7
5
1
中等
1
8
3

偏高
2

0
1
超常
0
2
1
1
由于部分数据丢失，只知道从这40位学生中随机抽取一个，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为．
（1）试确定、的值；
（2）从40人中任意抽取3人，求其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率；
（3）从40人中任意抽取3人，设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为，求随机变量的数学期望．

某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查．瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力.某班学生共有40人，下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果．例如表中听觉记忆能力为中等，且视觉记忆能力偏高的学生为3人．

     视觉         [来源:]

视觉记忆能力

偏低

中等

偏高

超常

听觉

记忆

能力

偏低

0

7

5

1

中等

1

8

3

偏高

2

0

1

超常

0

2

1

1

由于部分数据丢失，只知道从这40位学生中随机抽取一个，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为．

（I）试确定、的值；

（II）从40人中任意抽取3人，求其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率；

（III）从40人中任意抽取3人，设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为，求随机变量的数学期望．

【解析】1）中由表格数据可知，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有（10+a）人．记“视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事件A，则P(A)=(10+a)/40=2/5，解得a=6．……………2分

所以．b=40-(32+a)=40-38=2答：a的值为6，b的值为2．………………3分

（2）中由表格数据可知，具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生共有8人．

方法1：记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件B，

则“没有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件

(3)中由于从40位学生中任意抽取3位的结果数为，其中具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生共24人，从40位学生中任意抽取3位，其中恰有k位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的结果数为，………………………7分

所以从40位学生中任意抽取3位，其中恰有k位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的概率为，k=0,1,2,3

 

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