Question

已知M是抛物线y²=-8x上的一个动点，M到直线x=2的距离是d₁，M到直线x-y=4的距离是d₂，则d₁+d₂的最小值是（　　）

• A、0
• B、2

  2

• C、3

  2

• D、不存在

Answer 1

分析：由题意得抛物线的焦点为F（-2，0）、准线为x=2．根据抛物线的定义可得d₁+d₂=|MF|+d₂，再利用平面几何的知识可得当MF所在直线与直线x-y=4垂直时，点F到直线x-y=4的距离就是d₁+d₂的最小值，利用点到直线的距离公式加以计算，可得答案．

解答：解：∵抛物线y²=-8x中，2p=8，可得

p

2

=2，
∴抛物线的焦点为F（-2，0），准线为x=2．
根据抛物线的定义，M到直线x=2的距离是d₁=|MF|，
设点F到直线x-y=4的距离是d，
则由平面几何的知识可得：d₁+d₂=|MF|+d₂≥d，
当且仅当MF所在直线与直线x-y=4垂直时，
d₁+d₂有最小值，最小值为d=

|-2-0-4|

2

=3

2

．
故选：C

点评：本题给出抛物线的准线与另一条定直线，求抛物线上动点到两条直线的距离之和的最小值．着重考查了点到直线的距离公式、抛物线定义与标准方程等知识，属于中档题．