Question

5．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）与圆M：x²+y²-2mx+1=0（m＞1）在第一象限的公共点为A，且圆M在点A处的切线l过椭圆C的左焦点F₁．
（1）若点A（1，2），求椭圆C左焦点F₁的坐标；
（2）若以AF₁为直径的圆经过椭圆C的右焦点F₂．
①求椭圆C的焦距；
②若圆心M在椭圆内，求证：椭圆C的离心率e＞$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）A在圆上，坐标带入圆的方程，便可得出m=3，从而得出圆的方程：（x-3）²+y²=8，从而可以写出过A（1，2）的圆的切线方程，而根据题意知，该切线和x轴的交点便是左焦点F₁的坐标，这样求出该坐标即可；
（2）①根据已知条件便知，F₁F₂⊥AF₂，从而方程x=c联立椭圆的方程即可得出A的坐标，A$（c，\frac{{b}^{2}}{a}）$，从而可以写出过该点的圆的切线方程，而该切线过左焦点F₁（-c，0），带入切线方程，便能够求出c=1；
②上面得到了$A（1，\frac{{b}^{2}}{a}）$，该点在圆上，从而可带入圆的方程可以求出$m=\frac{{a}^{2}}{2}+\frac{1}{2{a}^{2}}$，而根据圆心在椭圆内，便有m＜a，带入m便可得到2a³-a⁴＞1，进一步便得到a³（2-a）＞1，从而需满足2-a＞0，这样便可得到e=$\frac{c}{a}＞\frac{1}{2}$．

解答 解：（1）A（1，2）为椭圆和圆的公共点，∴带入圆的方程得：
1+4-2m+1=0；
∴m=3；
∴圆M的方程为：（x-3）²+y²=8；
∴过A（1，2）的圆M的切线方程为：（x-3）•（1-3）+y•2=8；
∴该切线和x轴交点为（-1，0）；
即F₁（-1，0）；
（2）①以AF₁为直径的圆过右焦点F₂；
∴F₁F₂⊥AF₂；
∴由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\\{x=c}\end{array}\right.$得，y=$±\frac{{b}^{2}}{a}$；
∴$A（c，\frac{{b}^{2}}{a}）$；
∴过点A的切线方程为；
$（x-m）（c-m）+y•\frac{{b}^{2}}{a}={m}^{2}-1$；
左焦点F₁（-c，0）在切线上；
∴（-c-m）（c-m）+0=m²-1；
∴c=1；
∴椭圆C的焦距为2；
②∴$A（1，\frac{{b}^{2}}{a}）$，点A在圆上，所以：
$1+\frac{{b}^{4}}{{a}^{2}}-2m+1=0$；
∴$m=1+\frac{（{a}^{2}-1）^{2}}{{2a}^{2}}=1+\frac{{a}^{4}-2{a}^{2}+1}{2{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}}{2}+\frac{1}{2{a}^{2}}$；
∵圆心在椭圆内；
∴m＜a；
∴$\frac{{a}^{2}}{2}+\frac{1}{2{a}^{2}}＜a$；
∴2a³-a⁴＞1；
∴a³（2-a）＞1；
∴2-a＞0，2＞a；
∴$\frac{1}{a}＞\frac{1}{2}$；
c=1，∴$\frac{c}{a}＞\frac{1}{2}$；
即椭圆的离心率e$＞\frac{1}{2}$．

点评 考查椭圆、圆的标准方程，椭圆的焦点的概念及表示，过圆上一点的切线方程的求法，直线和x轴交点的求法，直径所对圆周角为直角，m＜a条件的应用，以及椭圆的离心率的概念及计算公式．