Question

已知函数，（其中a∈R，e为自然对数的底数
（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程；
（2）当x≥1时，若关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）当a=0时求出f（x）的解析式，根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可．
（2）将a分离出来得a≤，设，然后利用导数研究函数g（x）在[1，+∞）上单调性，求出g（x）的最小值，使a≤g（x）_min即可．
解答：解：（1）当a=0时，∴f'（x）=e^x-x，∴f（0）=0，f'（0）=1，∴切线方程为y=x．（4分）
（2）∵x≥1，∴≥0?a≤，（5分）
设，则，（7分）
设，则ϕ'（x）=x（e^x-1）＞0，（9分）
∴ϕ（x）在[1，+∞）上为增函数，∴ϕ（x）≥，∴，
∴在[1，+∞）上为增函数，∴g（x）≥，∴a≤．（12分）
点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数恒成立问题等有关知识，同时考查了计算能力，属于中档题．