Question

已知f(x)＝x(x－a)(x－b)，点A(s，f(s))，B(t，f(t))．

(Ⅰ)若a＝b＝1，求函数f(x)的单调递增区间；

(Ⅱ)若函数f(x)的导函数满足：当|x|≤1时，有恒成立，求函数f(x)的解析表达式；

(Ⅲ)若0＜a＜b，函数f(x)在x＝s和x＝t处取得极值，且，证明：与不可能垂直．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)， 　　令得，解得 　　故的增区间和 　　(Ⅱ)(x)＝ 　　当x∈[－1，1]时，恒有|(x)|≤．……………………4分 　　故有≤(1)≤，≤(－1)≤， 　　及≤(0)≤，……………………5分 　　即………………………6分 　　①＋②，得≤≤，………………………8分 　　又由③，得＝，将上式代回①和②，得 　　故．……………………9分 　　(Ⅲ)假设⊥， 　　即＝………………………10分 　　故(s－a)(s－b)(t－a)(t－b)＝－1 　　[st－(s＋t)a＋a2][st－(s＋t)b＋b2]＝－1，………………………11分 　　由s，t为(x)＝0的两根可得，s＋t＝(a＋b)，st＝，(0＜a＜b) 　　从而有ab(a－b)2＝9．………………………12分 　　这样 　　即≥2，这与＜2矛盾．………………………13分 　　故与不可能垂直．………………………14分