题目内容

在平面直角坐标系xOy中,F是抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点,过M,F,O三点的圆的圆心为Q,点Q到抛物线C的准线的距离为.
(1)求抛物线C的方程;
(2)是否存在点M,使得直线MQ与抛物线C相切于点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.
(3)若点M的横坐标为,直线l:y=kx+与抛物线C有两个不同的交点A,B,l与圆Q有两个不同的交点D,E,求当≤k≤2时,|AB|2+|DE|2的最小值.

（1）x2=2y  （2）存在点M(,1)  （3）

解析解:(1)依题意知F,圆心Q在线段OF的垂直平分线y=上,
因为抛物线C的准线方程为y=-,
所以=,
即p=1.
因此抛物线C的方程为x2=2y.
(2)假设存在点M(x0>0)满足条件,抛物线C在点M处的切线斜率为y′==x0,
所以直线MQ的方程为y-=x0(x-x0).
令y=得xQ=+.
所以Q（+,）.
又|QM|=|OQ|,
故（-）2+（-）2=（+）2+,
因此（-）2=.
又x0>0,
所以x0=,此时M(,1).
故存在点M(,1),
使得直线MQ与抛物线C相切于点M.
(3)当x0=时,由(2)得Q（,）,
☉Q的半径为r==,
所以☉Q的方程为（x-）2+（y-）2=.
由
整理得2x2-4kx-1=0.
设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
由于Δ1=16k2+8>0,x1+x2=2k,x1x2=-,
所以|AB|2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
=(1+k2)(4k2+2).
由
整理得(1+k2)x2-x-=0.
设D,E两点的坐标分别为(x3,y3),(x4,y4),
由于Δ2=+>0,x3+x4=,
x3x4=-.
所以|DE|2=(1+k2)[(x3+x4)2-4x3x4]
=+.
因此|AB|2+|DE|2=(1+k2)(4k2+2)+  +.
令1+k2=t,
由于≤k≤2,
则≤t≤5,
所以|AB|2+|DE|2=t(4t-2)++
=4t2-2t++

练习册系列答案
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已知双曲线过点(3，－2)，且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程．

过双曲线的左焦点，作倾斜角为的直线交该双曲线右支于点，若，且，则双曲线的离心率为__________．

如图,椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,离心率e=,过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点,=4.

(1)求该椭圆的标准方程;
(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′,过P、P′作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q外.求△PP′Q的面积S的最大值,并写出对应的圆Q的标准方程.

如图所示,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F1、F2,线段OF1、OF2的中点分别为B1、B2,且△AB1B2是面积为4的直角三角形.

(1)求该椭圆的离心率和标准方程;
(2)过B1作直线交椭圆于P、Q两点,使PB2⊥QB2,求△PB2Q的面积.

已知双曲线C的方程为-=1(a>0,b>0),离心率e=,顶点到渐近线的距离为.

(1)求双曲线C的方程;
(2)如图,P是双曲线C上一点,A、B两点在双曲线C的两条渐近线上,且分别位于第一、二象限.若=λ,λ∈.求△AOB的面积的取值范围.

设椭圆+=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,点P(a,b)满足|PF2|=|F1F2|.
(1)求椭圆的离心率e;
(2)设直线PF2与椭圆相交于A,B两点.若直线PF2与圆(x+1)2+(y-)2=16相交于M,N两点,且|MN|=|AB|,求椭圆的方程.

过椭圆的左顶点作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为，与轴的交点为，已知.
（1）求椭圆的离心率；
（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点，若轴上存在一定点，使得，求椭圆的方程.

已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),且点(-1,)在椭圆C上.
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)已知点Q(,0),动直线l过点F,且直线l与椭圆C交于A,B两点,证明:·为定值.

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