Question

已知焦点在x轴上，离心率为的椭圆的一个顶点是抛物线x²=4y的焦点，过椭圆右焦点F的直线l交椭圆于A、B两点，交y轴于点M，且，．
（1）求椭圆的方程；
（2）证明：λ₁+λ₂为定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）因为椭圆的离心率为，所以，又因为椭圆的一个顶点是抛物线x²=4y的焦点，且椭圆的焦点在x轴上，所以b=1，再根据a，b，c的关系，就能求出a的值，椭圆的方程可得．
（2）可先设出A、B、M的坐标，代入，，就可找到几个点坐标的关系式，再根据A，B再椭圆上，满足椭圆方程，消去参数，就可求出λ₁+λ₂的值．
解答：解：（1）依题意，设椭圆方程为
因为抛物线x²=4y的焦点为（0，1），所以b=1．
由．
故椭圆方程为．
（2）依题意设分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），（0，y），
由（1）得椭圆的右焦点F（2，0），

由
由
因为A、B在椭圆上，所以
即
所以λ₁，λ₂是方程λ²+10λ+（5-5y²）=0的两根，
故λ₁+λ₂=-10是定值．
点评：本题考查了直线与椭圆 的位置关系，做题时要认真分析，找到突破口．