Question

设等差数列{a_n}的各项均为整数，其公差d≠0，a₅=6．
（Ⅰ）若a₂•a₁₀＞0，求d的值；
（Ⅱ）若a₃=2，且a3，a5，an1，an2，…，ant，…（5＜n₁＜n₂＜…＜n_t＜…）成等比数列，求n_t．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用等差数列通项公式，结合a₂•a₁₀＞0，求d的范围，然后求出d的值；
（Ⅱ）利用a₃=2，求出d的值，写出ant=2nt-4结合a3，a5，an1，an2，…，ant，…（5＜n₁＜n₂＜…＜n_t＜…）成等比数列，求出公比，然后求n_t．

解答：解：（Ⅰ）因为等差数列{a_n}的各项均为整数，所以d∈Z（1分）
由a₂•a₁₀＞0，得（a₅-3d）（a₅+5d）＞0，即（3d-6）（5d+6）＜0，
解得-

6

5

＜d＜2．注意到d∈Z，且d≠0，所以d=-1，或d=1（3分）
（Ⅱ）解：由a₃=2，a₅=6，得d=

a5-a3

5-3

=2，
从而a_n=a₃+（n-3）d=2+（n-3）×2=2n-4，故ant=2nt-4（5分）
由a3，a5，an1，an2，，ant，成等比数列，得此等比数列的公比为

a5

a3

=3，
从而ant为其第t+1项，所以ant=a3•3t+1=2•3t+1（7分）
由2n_t-4=2•3^t+1，解得n_t=3^t+1+2，t=1，2，3，（9分）

点评：本题是数列知识的综合应用，考查等差数列的通项公式，等比数列公比的求法，注意基本知识的灵活运用，常考题型．