Question

设不等式组表示的平面区域为D．区域D内的动点P到直线和直线的距离之积为2．记点P的轨迹为曲线C．过点F(2，0)的直线与曲线C交于A、B两点．若以线段AB为直径的圆与轴相切，求直线的斜率．

Answer 1

解：由题意可知，平面区域D如图阴影所示．设动点P(，y)，

则即．由PD知+y >0，－y <0，即^2－y²<0

所以，即曲线C的方程为．

设A()，B()，则以线段AB为直径的圆的圆心为Q()．

因为以线段AB为直径的圆L与y轴相切，所以半径r=，

即|AB|=：    ①

    因为直线AB过点F(2，0)，

当AB⊥轴时，不合题意．

所以设直线AB的方程为y=k(－2)．

    代人双曲线方程得，

    ，即．

    因为直线与双曲线交于A、B两点，所以≠±1．

    所以,

    所以|AB|=

           =

           =

           =

化简得：，

解得(不合题意，舍去)．

由△=(4)²－4(²一1)(8²－4)

        =3 ²－1>0，

又由于y>0，

所以一1<<一．所以=－