题目内容

等差数列{a_n}中，2a₁+3a₂=11，2a₃=a₂+a₆-4，其前n项和为s_n
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）若数列{b_n}满足 b_n= $数学公式$ ，其前n项和为T_n，求证T_n＜ $数学公式$ ．

解：（Ⅰ）等差数列{a_n}中，
∵2a₁+3a₂=11，2a₃=a₂+a₆-4，
∴ $\text{[math]}$ ，
解得a₁=1，d=2，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（Ⅱ）∵a₁=1，d=2，
∴S_n=n+ $\text{[math]}$ ×2=n²．
∴b_n= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），
∴T_n= $\text{[math]}$ [（1- $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ ）+…+（ $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ ）]
= $\text{[math]}$ （1+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）
= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）由2a₁+3a₂=11，2a₃=a₂+a₆-4，利用等差数列的通项公式求出a₁=1，d=2，由此能求出a_n．
（Ⅱ）由a₁=1，d=2，知S_n=n²．从而得到b_n= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），由此利用裂项求和法证明T_n＜ $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．