Question

已知函数f（x）=lnx的图象是曲线C，点An(an，f(an))(n∈N*)是曲线C上的一系列点，曲线C在点A_n（a_n，f（a_n））处的切线与y轴交于点B_n（0，b_n），若数列{b_n}是公差为2的等差数列，且f（a₁）=3．
（1）分别求出数列{a_n}与数列{b_n}的通项公式；
（2）设O为坐标原点，S_n表示△A_nB_n的面积，求数列{S_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（1）求导函数可得f′（x）=

1

x

，则曲线C在点A_n（a_n，f（a_n））处的切线方程为y-lna_n=

1

an

（x-a_n）
令x=0，则y-lna_n=-1，∴b_n=lna_n-1
∴b_n+1-b_n=lna_n+1-1-lna_n+1=2
∴

an+1

an

=e2
∵f（a₁）=3，
∴ln（a₁）=3，
∴a₁=e³，
∴a_n=e²ⁿ⁺¹
∴b_n=lna_n-1=2n；
（2）S_n=

1

2

×b_n×a_n=n×e²ⁿ⁺¹
∴T_n=1×e³+2×e⁵+…+n×e²ⁿ⁺¹①
∴e²T_n=1×e⁵+2×e⁷+…+（n-1）×e²ⁿ⁺¹+n×e²ⁿ⁺³②
①-②可得T_n-e²T_n=1×e³+1×e⁵+…+1×e²ⁿ⁺¹-n×e²ⁿ⁺³
∴T_n=

e3-e3+2n

(1-e2)2

-

n×e2n+3

1-e2