Question

如图，已知椭圆，A(2，0)是长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，且。
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)若AB上的一点F满足，求证：CF平分∠BCA；
(Ⅲ)对于椭圆上的两点P，Q，∠PCQ的平分线总是垂直于x轴时，是否存在实数λ，使得。

Answer 1

(Ⅰ)解：∵，
∴，
又，即，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴C（1，1），而C在椭圆上，
∴，∴，
∴所求椭圆方程为。
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)得，
又，即，
即点F分所成的定比为2，
设，
∵，
∴，CF⊥x轴，
∴，即CF平分∠BCA。
(Ⅲ)解：对于椭圆上两点P，Q，
∵的角平分线总是垂直于x轴，
∴PC与CQ所在直线关于x=1对称，，则，
∵C（1，1），
则PC的直线方程为，①
QC的直线方程为，②
将①代入，得
，③
∵C（1，1）在椭圆上，
∴x=1是方程③的一个根，
∴，
同理将②代入，得
，④
∵C（1，1）在椭圆上，
∴x=1是方程④的一个根，
∴，
，
而，
∴，∴PQ∥AB，
∴存在实数λ，使得。