Question

【题目】已知函数，其中为自然对数的底数.

（1）当时，讨论函数的单调性；

（2）当时，求证：对任意的.

Answer 1

【答案】（1）在上是单调递减的函数；（2）详见解析．

【解析】试题分析：（1）求导，根据导函数的取值情况分析的单调性；（2）令，求导，分析其单调性，进而研究其取值情况，问题等价于证明即可得证..

试题解析：（1）当时， ， ，

，∵当时， ，∴，∴在上是单调递减的函数；（2）设， ， ，令， 则，当时， ，有，∴在上是减函数，即在上是减函数，

又∵， ，∴存在唯一的，使得， ∴当时， ， 在区间单调递增；

当时， ， 在区间单调递减，因此在区间上

，

∵，∴，将其代入上式得

，

令， ，则，即有， ，

∵的对称轴，∴函数在区间上是增函数，且，

∴，（ ），即任意， ，∴，因此任意， .