Question

17．已知等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，其前n项和为S_n，若直线y=$\frac{1}{2}$a₁x+m与圆（x-2）²+y²=1的两个交点关于直线x+y-d=0对称，求数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前项和．

Answer 1

分析 由圆心（2，0）在直线x+y-d=0上，可得2+0-d=0，解得d．直线y=$\frac{1}{2}$a₁x+m与直线x+y-d=0垂直，可得-1×$\frac{1}{2}{a}_{1}$=-1，解得a₁．再利用等差数列的求和公式与“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：∵圆心（2，0）在直线x+y-d=0上，∴2+0-d=0，解得d=2．
直线y=$\frac{1}{2}$a₁x+m与直线x+y-d=0垂直，
∴$\frac{1}{2}{a}_{1}$=1，解得a₁=2．
∴S_n=2n+$\frac{n（n-1）}{2}×2$=n（n+1）．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前项和=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查了等差数列的求和公式与“裂项求和”方法、直线与圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．