Question

7．等腰直角三角形ABC的斜边为$\sqrt{2}$，且AB⊥AC，E，F分别是AB，AC上的动点，AE=mAB（0≤m＜1），AF=nAC（0＜n＜1），m+n=1，设BF与CE交点为P，且记d为AP取到最值时的EF的长度，则AP•d的取值范围是（　　）

• A． $[\frac{1}{3}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$
• B． $[\frac{{\sqrt{2}}}{3}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$
• C． $[\frac{{\sqrt{5}}}{6}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$
• D． $[\frac{{\sqrt{6}}}{7}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$

Answer 1

分析 由题意AE=mAC（0≤m＜1），AF=nAC（0＜n＜1），m+n=1，利用极值法讨论，当m=1，n=0以及n=1，m=0时，交点为B或C，此时AP＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$最大，求解EF=1，当m=n=$\frac{1}{2}$时，AP取得最小值，交点P为三角形的重心，求出即可得．

解答 解：由题意：等腰直角三角形ABC的斜边为$\sqrt{2}$，且AB⊥AC，
∴AB=AC=1，
∵E，F分别是AB，AC上的动点，AE=mAB（0≤m＜1），AF=nAC（0＜n＜1），m+n=1，根据题意，当m=n=$\frac{1}{2}$时，AP取得最小值，此时E，F是各边的中点，故得交点P为三角形的重心．
由重心公式可得AP=$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，此时d=EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴AP•d的最小值为$\frac{1}{3}$．
当m=1，n=0以及n=1，m=0时，交点为B或C，此时AP＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$最大，此时d=EF=1，
∴AP•d的最大值小于$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故得AP•d的取值范围是[$\frac{1}{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
故选A．

点评 本题考查了等腰直角三角形的边角关系的应用问题，也考查了特殊值应用，极值法的运用．属于中档题．