Question

椭圆

x2

16

+

y2

9

=1的左、右焦点分别为F₁、F₂，过焦点F₁的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF₂的内切圆的面积为π．A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁）和（x₂，y₂），则|y₂-y₁|的值为

 

．

Answer 1

分析：先根据椭圆方程求得a和c，及左右焦点的坐标，进而根据三角形内切圆面积求得内切圆半径，进而根据△ABF₂的面积=△AF₁F₂的面积+△BF₁F₂的面积求得△ABF₂的面积=

7

|y₂-y₁|进而根据内切圆半径和三角形周长求得其面积，建立等式求得|y₂-y₁|的值．

解答：解：椭圆：

x2

16

+

y2

9

=1，a=4，b=3，∴c=

7

，
左、右焦点F₁（-

7

，0）、F₂（

7

，0），
△ABF₂的内切圆面积为π，则内切圆的半径为r=1，
而△ABF₂的面积=△AF₁F₂的面积+△BF₁F₂的面积=

1

2

×|y₁|×|F1F₂|+

1

2

×|y₂|×|F₁F₂|=

1

2

×（|y₁|+|y₂|）×|F₁F₂|=

7

|y₂-y₁|（A、B在x轴的上下两侧）
又△ABF₂的面积═

1

2

×|r（|AB|+|BF₂|+|F₂A|=

1

2

×（2a+2a）=2a=8．
所以

7

|y₂-y₁|=8，
|y₂-y₁|=

8 7

7

．
故答案为

8 7

7

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的简单性质，三角形内切圆性质．