Question

椭圆的长轴为AB，P为椭圆上任一点，引AQ⊥AP，BQ⊥BP，AQ与BQ的交点为Q，求点Q的轨迹．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：设椭圆方程＝1，则 　　A(－a，0)、B(a，0)又设P(x，y)，则 　　kAP·kBP＝·＝ 　　＝． 　　又∵AQ⊥AP，∴kAQ＝， 　　同理有kBQ＝． 　　∴kAQ·kBQ＝． 　　设Q点坐标为(x，y)，∴·＝． 　　即a2x2＋b2y2＝a4， 　　∴＝1，∴所求轨迹为一椭圆． 　　解法二：设椭圆方程为＝1(a＞b＞0)， 　　则点A、B的坐标分别为(－a，0)，(a，0)．又设P点坐标为(acos，bsin)， 　　∵BQ⊥BP，AQ⊥AP， 　　∴BQ的直线方程为y＝(x－a)． 　　AQ的直线方程为y＝(x＋a)． 　　上面二式相乘有y2＝(x2－a2)， 　　即y2＝(x2－a2)，即＝1，∴所求轨迹仍为一个椭圆．