题目内容
已知函数f（x）=x+
．
（1）求证在[1，+∞）是增函数．
（2）求证函数是奇函数．
| 1 | x |
（1）求证在[1，+∞）是增函数．
（2）求证函数是奇函数．
分析：（1）任取x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2，可证明f（x1）-f（x2）＜0，由函数的单调性可得；
（2）可知定义域为{x|x≠0}，可得f（-x）=-f（x），由函数奇偶性的定义可得．
（2）可知定义域为{x|x≠0}，可得f（-x）=-f（x），由函数奇偶性的定义可得．
解答：解：（1）任取x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=x1+
-（x2+
）
=x1-x2+
-
=x1-x2+
=（x1-x2）（1-
）=（x1-x2）
，
∵x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2，
∴x1-x2＜0，x1x2＞1，x1x2-1＞0，
∴（x1-x2）
＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴函数f（x）=x+
在[1，+∞）是增函数；
（2）∵f（x）=x+
的定义域为{x|x≠0}，
∴f（-x）=-x-
=-（x+
）=-f（x）
∴函数f（x）=x+
是奇函数
则f（x1）-f（x2）=x1+
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
=x1-x2+
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
| x2-x1 |
| x1x2 |
=（x1-x2）（1-
| 1 |
| x1x2 |
| x1x2-1 |
| x1x2 |
∵x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2，
∴x1-x2＜0，x1x2＞1，x1x2-1＞0，
∴（x1-x2）
| x1x2-1 |
| x1x2 |
∴函数f（x）=x+
| 1 |
| x |
（2）∵f（x）=x+
| 1 |
| x |
∴f（-x）=-x-
| 1 |
| x |
| 1 |
| x |
∴函数f（x）=x+
| 1 |
| x |
点评：本题考查函数单调性和奇偶性的判断，涉及定义法证明函数的单调性，属中档题．
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| 2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
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|