题目内容

已知函数f（x）= $数学公式$ （a∈R），
（Ⅰ）若函数f（x）在（1，+∞）为增函数，求a的取值范围；
（Ⅱ）讨论方程f（x）=0解的个数，并说明理由．

解：（I）若函数f（x）在（1，+∞）上恒成立．则f′（x）=x- $\text{[math]}$ ≥0在（1，+∞）上恒成立，
即：a≤x²在（1，+∞）上恒成立．所以有a≤1．
（II）当a=0时，f（x）在定义域（0，+∞）上恒大于0，此时方程无解；
当a＜0时，f′（x）=x- $\text{[math]}$ ＞0在（0，+∞）上恒成立，所以f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数．
∵f（1）= $\text{[math]}$ ＞0，f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，所以方程有惟一解．
当a＞0时，f′（x）=x- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
因为当x $\text{[math]}$ 时，f′（x）＞0，f（x）在 $\text{[math]}$ 内为减函数；
当x $\text{[math]}$ 时，f（x）在 $\text{[math]}$ 内为增函数．
所以当x= $\text{[math]}$ 时，有极小值即为最小值f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ．
当a∈（0，e）时，f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ＞0，此方程无解；
当a=e时，f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ =0此方程有惟一解x= $\text{[math]}$ ．
当a∈（e，+∞）时，f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ＜0
因为f（1）= $\text{[math]}$ ＞0且1 $\text{[math]}$ ，所以方程f（x）=0在区间（0， $\text{[math]}$ ）上有惟一解，
因为当x＞1时，（x-lnx）′＞0，所以x-lnx＞1，
所以x＞lnx，f（x）= $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ，
因为2a＞ $\text{[math]}$ ＞1，所以f（x） $\text{[math]}$ =0，
所以方程f（x）=0在区间（ $\text{[math]}$ ，+∞）上有惟一解．所以方程f（x）=0在区间（e，+∞）上有两解．
综上所述：当a∈[0，e）时，方程无解；当a＜0或a=e时，方程有惟一解；
当a＞e时方程有两解．
分析：（I）根据函数f（x）在（1，+∞）为增函数，我们易得F′（x）≥0在（1，+∞）上恒成立，进而将问题转化为一个函数恒成立问题，进而求出a的取值范围；
（Ⅱ）对a进行分类讨论：当a=0时，当a＜0时，当a＞0时．把a代入f（x）中确定出f（x）的解析式，然后根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，分别令导函数大于0和小于0得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到f（x）的最小值，根据最小值小于0得到函数没有零点即零点个数为0．
点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数的单调性，同时考查分类讨论的思想，计算能力，属于难题题．此类题解答的关键是学生会根据导函数的正负得到函数的单调区间，会根据函数的增减性得到函数的最值，掌握函数零点的判断方法，是一道综合题．