题目内容

已知函数 $数学公式$ ，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n）（n∈N₊）．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若数列{b_n}满足 $数学公式$ ，求S_n．

解：（1）由已知，a_n+1= $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ +1，
∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =3（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ），
∴数列{ $\text{[math]}$ }是以1+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 为首项，以3为公比的等比数列．
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ •3 ^n-1= $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
所以a_n= $\text{[math]}$
（2） $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$
S_n=b₁+b₂+…+b_n= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+…+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$
分析：（1）由已知，a_n+1= $\text{[math]}$ ，构造出 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =3（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）求出数列{ $\text{[math]}$ }的通项后再求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）由（1）可求得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，经这样裂项后再求和．
点评：本题主要考查由递推公式推导数列的通项公式，考查等比数列的判定、通项公式求解，裂项求和法，考查变形构造、转化、计算能力．