题目内容
某游乐场将要举行狙击移动靶比赛．比赛规则是：每位选手可以选择在A区射击3次或选择在B区射击2次，在A区每射中一次得3分，射不中得0分； 在B区每射中一次得2分，射不中得0分．已知参赛选手甲在A区和B区每次射中移动靶的概率分别是
和p（0＜p＜1）．（Ⅰ） 若选手甲在A区射击，求选手甲至少得3分的概率；
（Ⅱ） 我们把在A、B两区射击得分的数学期望高者作为选择射击区的标准，如果选手甲最终选择了在B区射击，求p的取值范围．
【答案】分析：（Ⅰ）设“选手甲在A区射击得0分”为事件M，“选手甲在A区射击至少得（3分）”为事件N，由事件M与事件N为对立事件，能求出选手甲至少得3分的概率．
（Ⅱ） 设选手甲在A区射击的得分为ξ，则ξ的可能取值为0，3，6，9．分别求出期概率，由此能求出ξ的数学期望．设选手甲在B区射击的得分为η，则η的可能取值为0，2，4．分别求出其概率，由此能求出η的数学期望，由此能够求出p的取值范围．
解答：（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）设“选手甲在A区射击得0分”为事件M，“选手甲在A区射击至少得（3分）”为事件N，
则事件M与事件N为对立事件，
…（2分）
…（4分）
（Ⅱ） 设选手甲在A区射击的得分为ξ，
则ξ的可能取值为0，3，6，9.
；
；
；
所以ξ的分布列为∴
设选手甲在B区射击的得分为η，
则η的可能取值为0，2，4．P（η=0）=（1-p）2；
；
P（η=4）=p2
所以η的分布列为
∴Eη=0×（1-p）2+2•2p（1-p）+4•p2=4p
根据题意，有 Eη＞Eξ，
∴
，
∴
…（13分）
点评：本题考查离散随机变量的概率分布列和数学期望，是历年高考的必考题型之一．解题时要认真审题，注意排列组合知识和概率知识的灵活运用．
（Ⅱ） 设选手甲在A区射击的得分为ξ，则ξ的可能取值为0，3，6，9．分别求出期概率，由此能求出ξ的数学期望．设选手甲在B区射击的得分为η，则η的可能取值为0，2，4．分别求出其概率，由此能求出η的数学期望，由此能够求出p的取值范围．
解答：（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）设“选手甲在A区射击得0分”为事件M，“选手甲在A区射击至少得（3分）”为事件N，
则事件M与事件N为对立事件，
…（2分）
…（4分）（Ⅱ） 设选手甲在A区射击的得分为ξ，
则ξ的可能取值为0，3，6，9.
；
；
；
| ξ | 3 | 6 | 9 | |
| P |  |  |  |  |
设选手甲在B区射击的得分为η，
则η的可能取值为0，2，4．P（η=0）=（1-p）2；
；P（η=4）=p2
所以η的分布列为
| η | 2 | 4 | |
| P | （1-p）2 | 2p（1-p） | p2 |
根据题意，有 Eη＞Eξ，
∴
，∴
…（13分）点评：本题考查离散随机变量的概率分布列和数学期望，是历年高考的必考题型之一．解题时要认真审题，注意排列组合知识和概率知识的灵活运用．
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