Question

（本题满分14分）
如图，在底面是正方形的四棱锥中，面，交于点，是中点，为上一点．
⑴求证：；
⑵确定点在线段上的位置，使//平面，并说明理由．
⑶当二面角的大小为时，求与底面所成角的正切值．

Answer 1

⑴见解析；⑵当为中点，即时，平面；
（3）．

本试题主要是考查了空间立体几何中点线面的位置关系的综合运用。
（1）利用线面垂直的性质定理，得到线线垂直的判定。
（2）要使平面，只需，只要建立直角坐标系，解得。
（3）作于，连结，∵面，四边形是正方形，∴，又∵，，∴，∴，且，
∴是二面角的平面角，那么利用直角三角形得到。
⑴∵面，四边形是正方形，其对角线，交于点，
∴，．
∴平面，
∵平面，
∴                    
⑵当为中点，即时，平面，理由如下：
连结，由为中点，为中点，知，
而平面，平面，
故平面．
⑶作于，连结，
∵面，四边形是正方形，
∴，
又∵，，∴，
∴，且，
∴是二面角的平面角，
即，
∵⊥面，∴就是与底面所成的角
连结，则，，
∴，
∴，∴，
∴
∴与底面所成角的正切值是．
另解：以为原点，、、所在的直线分别为、、轴建立空间直角坐标系如图所示，设正方形的边长为，则，，，，，，，．（以下略）