Question

已知函数f（x）=logm

x-3

x+3

．
（1）求函数的定义域；        
（2）判断f（x）的奇偶性并证明；
（3）若f（x）的定义域为[α，β]（β＞α＞0），判断f（x）在定义域上的增减性，并加以证明．

Answer 1

（1）对于函数f（x）=logm

x-3

x+3

，
有

x-3

x+3

＞0，
解可得，x＞3或x＜-3，
则函数f（x）=logm

x-3

x+3

的定义域为{x|x＞3或x＜-3}；
（2）由（1）可得，f（x）=logm

x-3

x+3

的定义域为{x|x＞3或x＜-3}，关于原点对称，
f（-x）=log_m

-x-3

-x+3

=log_m

x+3

x-3

=-logm

x-3

x+3

，
即f（-x）=-f（x），
f（x）为奇函数；
（3）根据题意，f（x）的定义域为[α，β]（β＞α＞0），则[α，β]?（3，+∞）．
设x₁，x₂∈[α，β]，且x₁＜x₂，则x₁，x₂＞3，
f（x₁）-f（x₂）=logm

x1-3

x1+3

-logm

x2-3

x2+3

=logm

(x1-3)(x2+3)

(x1+3)(x2-3)

∵（x₁-3）（x₂+3）-（x₁+3）（x₂-3）=6（x₁-x₂）＜0，
∴（x₁-3）（x₂+3）＜（x₁+3）（x₂-3）即

(x1-3)(x2+3)

(x1+3)(x2-3)

＜1，
∴当0＜m＜1时，log_m

(x1-3)(x2+3)

(x1+3)(x2-3)

＞0，即f（x₁）＞f（x₂）；
当m＞1时，log_m

(x1-3)(x2+3)

(x1+3)(x2-3)

＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故当0＜m＜1时，f（x）为减函数；m＞1时，f（x）为增函数．