Question

已知函数f（x）=x²-alnx（a∈R）．
（1）当a=-1时，求函数f（x）在点x=1处的切线方程及f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）的极值．

Answer 1

分析：（1）欲求在点x=1处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．先求出f（x）的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f（x）＜0求得的区间是单调减区间，从而问题解决．
（2）类似与（1）中的方法，先求出f（x）的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，求出极值即可．

解答：解：（1）当a=-1时，f(x)=x2+lnx，f′(x)=2x+

1

x

，（1分）
∴f'（1）=3．
函数f（x）在点x=1处的切线方程为y-1=3（x-1），即y=3x-2（3分）
当x＞0时，f′(x)=2x+

1

x

＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，
而f（x）的定义域为（0，+∞），则函数f（x）的单调增区间为（0，+∞），不存在递减区间．（5分）
（2）函数f（x）=x²-alnx（a∈R）的定义域为（0，+∞），f′(x)=2x-

a

x

，（6分）
①当a≤0时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数；函数f（x）无极值（8分）
②当a＞0时，由f'（x）＞0，得x＞

2a

2

，（9分）
由f'（x）＜0，得0＜x＜

2a

2

，（10分）
∴当x=

2a

2

时，f（x）有极小值f(

2a

2

)=

1

2

a(1-lna+ln2)（11分）
综上，当a≤0时，f（x）无极值；当a＞0时，f（x）有极小值

1

2

a(1-lna+ln2)，无极大值（12分）

点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力及分类讨论思想．属于基础题．