Question

【题目】如图，在四棱锥是平行四边形，

（1）证明：平面平面PCD；

（2）求直线PA与平面PCB所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）

【解析】

（1）证明AC平面PCD，结合平面与平面垂直判定，即可。（2）建立空间直角坐标系，分别得出O,P,A,B,C坐标，计算平面PCB的法向量，计算向量坐标，结合空间向量数量积，计算，即可。

解（1）证明：因为

所以

所以

所以

因为，

所以

因为所以

（2）由（1）知

所以交线为CD，过P在平面PCD内做CD的垂线，垂足为O，

取BC中点为M，连PM,AM，

因为,,

所以,又平面PAM

所以,

因为 ,所以,因为直线AP平面PAM,

所以直线直线AP,

又,所以.

在中，由余弦定理得,

即

所以,

由此，，所以四边形ABOC为平行四边形，所以，所以

以直线OP为z轴，直线OD为x轴，直线OB为y轴建立空间直角坐标系.

所以

设是平面PBC的一个法向量，因为

所以，取，又,

所以，,

所以直线PA与平面PCB所成角的正弦值.