Question

（2012•静安区一模）（1）已知a、b为正实数，a≠b，x＞0，y＞0．试比较

a2

x

+ 

b2

y

与

(a+b)2

x+y

的大小，并指出两式相等的条件；
（2）求函数f（x）=

2

x

+

9

1-2x

，x∈(0，

1

2

)的最小值．

Answer 1

分析：（1）作差比较，即可判断两式的关系；
（2）构造满足基本不等式的条件，利用基本不等式求解即可．

解答：解：（1）作差比较：

a2

x

+ 

b2

y

-

(a+b)2

x+y

=

(ay-bx)2

xy(x+y)

≥0．…（4分）
所以，

a2

x

+ 

b2

y

≥

(a+b)2

x+y

．…（6分）
当ay=bx时，两式相等．…（8分）
（2）函数f（x）=

2

x

+

9

1-2x

=

4

2x

+

9

1-2x

≥

(2+3)2

2x+1-2x

=25．…（3分）
当2（1-2x）=3×2x，即x=

1

5

∈(0，

1

2

)时，函数取得最小值25．…（6分）

点评：本题考查大小比较，考查基本不等式的运用，解题的关键是构造满足基本不等式的条件．