Question

【题目】已知A是圆锥的顶点，BD是圆锥底面的直径，C是底面圆周上一点，AC＝BD＝2，BC＝1，点M在线段BD上，且BM，平面ABC和平面ACD将圆锥截去部分后的几何体如图所示.

（1）求证：CM⊥AD；

（2）求AC与底面所成的角；

（3）求该几何体的体积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）60°（3）

【解析】

（1）在中通过解三角形得，从而可证与平面垂直（取中点，是圆锥的高），得线线垂直；

（2）由（1）是直线与底面所成的角，在三角形中求解即可；

（3）该几何体是半个圆锥和一个三棱锥的组合体，由锥体体积公式计算．

（1）证明：∵C是底面圆周上一点，

∴BC⊥BD，

又∵，

∴∠BDC＝30°，

∴∠CBD＝60°，

在三角形BCM中，由余弦定理得：，

∴BC2＝BM2+CM2，

∴CM⊥BD，

设O为BD的中点，连接AO，则AO⊥平面BCD，

∵CM在平面BCD内，

∴CM⊥AO，

又AO∩BD＝O，

∴CM⊥平面BAD，

又AD在平面BAD内，

∴CM⊥AD；

（2）设O为BD的中点，连接CO，AO，则∠ACO为AC与底面所成的角，

由已知可得AB＝AD＝AC＝BD＝2，所以△ABD为正三角形，，

而CO＝1，所以，

∴AC与底面所成的角为60°；

（3）由题设知，∠CBD＝60°，

故△BCD的面积，

底面半圆的面积，

所以该几何体的体积.