Question

【题目】设△AnBnCn的三边长分别为an ， bn ， cn ， n=1，2，3…，若b1＞c1 ， b1+c1=2a1 ， an+1=an ， bn+1= ，cn+1= ，则∠An的最大值是 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：∵an+1=an ， ∴an=a1 ， ∵bn+1= ，cn+1= ，
∴bn+1+cn+1=an+ =a1+ ，
∴bn+1+cn+1﹣2a1= （bn+cn﹣2a1），
又b1+c1=2a1 ，
∴当n=1时，b2+c2﹣2a1= （b1+c1+﹣2a1）=0，
当n=2时，b3+c3﹣2a1= （b2+c2+﹣2a1）=0，
…
∴bn+cn﹣2a1=0，
即bn+cn=2a1为常数，
∵bn﹣cn=（﹣ ）n﹣1（b1﹣c1），
∴当n→+∞时，bn﹣cn→0，即bn→cn ，
则由基本不等式可得bn+cn=2a1≥2 ，
∴bncn ，
由余弦定理可得 =（bn+cn）2﹣2bncn﹣2bncncosAn ，
即（a1）2=（2a1）2﹣2bncn（1+cosAn），
即2bncn（1+cosAn）=3（a1）2≤2（a1）2（1+cosAn），
即3≤2（1+cosAn），
解得cosAn ，
∴0＜An ，
即∠An的最大值是 ，
所以答案是：
【考点精析】认真审题，首先需要了解基本不等式在最值问题中的应用(用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”)，还要掌握正弦定理的定义(正弦定理:)的相关知识才是答题的关键．